لتحليل الموجه لرسومات الحاسوب

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

مجتويات الكتاب
ontents
Preface. . . . . . vii
1 Scalars and
1.1 Introduction .
1.2 Representing vector quantities
1.3 Non-collinear vectors
2 Vector Representation . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Cartesian coordinates . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Vector notation . . . . . . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Length of a vector . . . . . . . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Vector algebra . . . . . . . ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Unit vectors . . . . . . . . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Rectangular unit vectors . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Position vectors . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.1 Problem 1 . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.2 Problem 2 . . . . . . . . . . . . . . ........................... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8.3 Problem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 Vector products . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.1 Scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.2 Vector product. . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9.3 Surface normals. . . . . . . . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.4 The algebra of vector products . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Triple products . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.1 Scalar triple product . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.2 The vector triple product . . . . . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 41
2.11 Perpendicular vectors . . . . . . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 44
2.12 Interpolating vectors . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.12.1 Linear interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.12.2 Spherical interpolation. . . . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 49
2.13 Direction cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.14 Change of axial system . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.15 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Straight Lines . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 The parametric form of the line equation . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 The Cartesian form of the line equation . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 The general form of the line equation . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 2D space partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 A line perpendicular to a vector . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 The position and distance of a point on a line perpendicular to the origin ............................... . 77
3.7.1 The Cartesian form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . 78
3.7.2 The parametric form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . 80
3.8 The position and distance of the nearest point on a line to a point . ........................ . . . . . . . . 81
3.8.1 The Cartesian form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . 82
3.8.2 The parametric form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . 84
3.9 The position of a point reflected in a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . 86
3.9.1 The Cartesian form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . 86
3.9.2 The parametric form of the line equation . . . . . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . 88
3.10 A line perpendicular to a line through a point . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . 89
3.10.1 The parametric form of the line equation . . . . . . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.11 A line equidistant from two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.12 The equation of a line segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.13 The intersection of two straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.14 The point of intersection of two 2D line segments . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 The Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 The Cartesian form of the plane equation . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 The parametric form of the plane equation . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 A plane equation from three points . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Contents xi
4.5 A plane perpendicular to a line and passing through a point . . . . . ................... . . . . . . . . . . 106
4.6 A plane through two points and parallel to a line . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 3D space partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ....... . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8 The angle between two planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9 The angle between a line and a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.10 The position and distance of the nearest point on a plane to a point . . . . ....................... . . . 115
4.11 The reflection of a point in a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . 118
4.12 A plane between two points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 A line reflecting off a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 A line reflecting off a plane . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Two intersecting lines in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3 A line intersecting a circle in R2 . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 A line intersecting an ellipse in R2 . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.5 The shortest distance between two skew lines in R3 . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.6 Two intersecting lines in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.7 A line intersecting a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.8 A line intersecting a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.9 A line intersecting an ellipsoid . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.10 A line intersecting a cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.11 A line intersecting a cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.12 A line intersecting a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.13 A point inside a triangle . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.14 A sphere intersecting a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.15 A sphere touching a triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.16 Two intersecting planes . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 175
xii Contents
7 Rotating Vectors . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Rotating a vector about an arbitrary axis . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3.1 Complex number operations. . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3.2 Magnitude of a complex number . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3.3 The complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3.4 Graphical interpretation of complex numbers. . . . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.5 i as a rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3.6 Unifying e, i, sin, and cos. . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.7 Complex numbers as rotators. . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5 Quaternions as rotators . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.6 The complex conjugate of a quaternion . . . . .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.7 The norm of a quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.8 Inverse of a quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.9 Rotating vectors using quaternions . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.10 Representing a quaternion as a matrix . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8 Vector Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.1 Introduction . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2 The derivative of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3 The normal vector to a planar curve . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4 The normal vector to a surface . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9 Projections . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2 Perspective transform . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . 213
9.2.1 Horizontally oblique projection plane . . . .. . . . . . . . . ......................... . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.2.2 Vertically oblique projection plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.2.3 Arbitrary orientation of the projection plane . . . . . . . . . . ................... . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.3 Pseudo fish-eye projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10 Rendering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.2 Light sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.3 Local reflection models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 227
Contents xiii
10.4 Shading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.5 Bump mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11 Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.2 Close encounters of the first kind . . . . . . .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.3 Close encounters of the second kind . .


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بالتوفيق للجميع ان شاء الله